HMF 1 - Lösung

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Aufgabe 1 – Minimalstelle

Für eine lokales Minimum gilt \(f'(x)=0\) und \(f''(x)>0\).

Dabei sind \(f\) und ihre Ableitungen

\(\quad \begin{array}{ r c l } f(x) & = & 4x^3 -12x \\[6pt] f'(x) & = & 12x^2 -12 \\[6pt] f''(x) & = & 24x \\ \end{array} \)

Mit der 1. Bedingung ergeben sich mögliche Minimalstellen.

\(\quad \begin{array}{ r c c l } 12x^2 -12 & = & 0 & | \; + 12 \\[6pt] 12x^2 & = & 12 & | \; : 12 \\[6pt] x^2 & = & 1 & | \; \sqrt{\dots} \\[6pt] x_1 & = & 1 \\[6pt] x_2 & = & -1 \\ \end{array} \)

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Wir überprüfen die Werte mit der 2. Bedingung auf die Art des Extremums :

\(\quad \begin{array}{ r c c c r c c l } f''(1) & = & 24 \cdot 1 & = & 24 & > & 0 & \Rightarrow \; \text{Minimum} \\[6pt] f''(-1) & = & 24 \cdot (-1) & = & -24 & < & 0 & \Rightarrow \; \text{Maximum} \\ \end{array} \)

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Bei \(x = 1\) ist eine lokale Minimalstelle von \(f\).

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 – Funktionsterm einer Stammfunktion

\(\quad \begin{array}{ r c l } F_C(x) & = & \displaystyle{\int} f(x)dx + C \\[6pt] & = & \displaystyle{\int} \left(4x^3 -12x\right)dx + C \\[6pt] & = & x^4 - 6x^2 + C \\ \end{array} \)

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Es gilt

\(\quad \begin{array}{ r c l } F_C(0) & = & 0^4 - 6 \cdot 0^2 + C \\[6pt] F_C(0) & = & C \\ \end{array} \)

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Nach Voraussetzung muss \(C \not= 0\) sein. Ein möglicher Funktionsterm mit \(C = 3\) wäre

\(\quad F_3(x) \; = \; x^4 - 6x^2 + 3 \)

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